Question

数列满足:,(≥3),记

(≥3).

(1)求证数列为等差数列,并求通项公式;

(2)设,数列{}的前n项和为,求证:<<.

 

Answer 1

(1) (2)详见解析.

【解析】

试题分析：(1)本题实质由和项求通项：

当n≥3时,因①, 故②，

②-①,得 bn-1-bn-2===1,为常数，所以,数列{bn}为等差数列因 b1==4,故 (2)本题证明实质是求和，而求和关键在于对开方：因 ，

故 .

所以 ,即 n<Sn

又<,于是. 于是

解 (1)方法一 当n≥3时,因①,

故② 2分

②-①,得 bn-1-bn-2===1,为常数,所以,数列{bn}为等差数列 5分

因 b1==4,故 8分

方法二 当n≥3时,a1a2an=1+an+1, a1a2anan+1=1+an+2, 将上两式相除并变形,得 ------2分 于是,当n∈N*时,

. 5分

又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).

所以数列{bn}为等差数列,且bn=n+3 8分

(2) 因 , 10分

故 . 12分

所以 ,

即 n<Sn 。 14分

又<,于是. 于是. 16分

考点：等差数列定义，裂项求和