Question

若动点（x，y）在曲线

x2

4

+y2=1上变化，则x²+2y的最大值为（　　）

• A．

  17

  4

• B．

  15

  4

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：（法一）由题意可设x=2cosα，y=sinα，则x²+2y=4cos²α+2sinα=-4sin²α+2sinα+4，结合-1≤sinα≤1及二次函数的性质可求
（法二由题意可得x²=4-4y²，且由椭圆的性质可知，-1≤y≤1，则x²+2y=-4y²+2y+4，由二次函数的性质可求

解答：解：（法一）∵点（x，y）在曲线

x2

4

+y2=1上
可设x=2cosα，y=sinα
则x²+2y=4cos²α+2sinα=-4sin²α+2sinα+4=-4(sin 2α- 

1

2

sinα-1)=-4(sinα-

1

4

)2+

17

4

又-1≤sinα≤1
当sinα=

1

4

时，x²+2y的最大值为的最大值为

17

4

故选A
（方法一新教材实验区的学生不要求掌握，掌握方法二即可）
（法二）∵点（x，y）在曲线

x2

4

+y2=1上
∴x²=4-4y²，且由椭圆的性质可知，-1≤y≤1
则x²+2y=-4y²+2y+4=-(y-

1

4

)2+

17

4

当y=

1

4

时，x²+2y的最大值

17

4

故选A

点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，其中法一主要利用椭圆的参数方程，三角函数的性质的应用；法二中要主要椭圆性质的应用，不要漏掉-1≤y≤1的考虑．