Question

17．已知函数f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2017}}{2017}$，g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2017}}{2017}$，设函数F（x）=f（x+4）•g（x-5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 根据函数的单调性求出函数零点的范围，作差即可求出b-a的最小值．

解答 解∵f（0）=1＞0，f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2017}$＜0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）内有零点；
当x∈（-1，0）时，f′（x）=$\frac{1{+x}^{2017}}{1+x}$＞0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增，
故函数f（x）有唯一零点x∈（-1，0）；
∵g（1）=1-1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…-$\frac{1}{2017}$＞0，
g（2）=1-2+$\frac{{2}^{2}}{2}$-$\frac{{2}^{3}}{3}$+…+$\frac{{2}^{2016}}{2016}$-$\frac{{2}^{2017}}{2017}$＜0．
当x∈（1，2）时，g′（x）=-1+x-x²+x³-…+x²⁰¹⁶-x²⁰¹⁷=$\frac{{x}^{2017}-1}{x+1}$＞0，
∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+4）•g（x-5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴f（x+4）的零点在（-5，-4）内，g（x-5）的零点在（6，7）内，
因此F（x）=f（x+4）•g（x-5）的零点均在区间[-5，7]内，
∴b-a的最小值为7-（-5）=12．
故选：D．

点评 本题考查了函数零点问题，考查函数的单调性，是一道中档题．