Question

【题目】过点任作一直线交抛物线于两点，过两点分别作抛物线的切线．

（Ⅰ）记的交点的轨迹为，求的方程；

（Ⅱ）设与直线交于点（异于点），且，．问是否为定值？若为定值，请求出定值．若不为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析.

【解析】分析：（Ⅰ）设切点，，交点，得切线的方程为，切线的方程为，带入点，进而得交点的轨迹的方程是；

（Ⅱ）设点，将条件向量坐标表示可得，，代入抛物线得，结合，可得，同理得，从而得是关于的方程的两根，由韦达定理可得解.

详解：（Ⅰ）设切点，，交点

由题意得切线的方程为，

切线的方程为，

又因为点分别在直线上，

所以,

则直线的方程为，又因为点在直线上，

所以，即切线交点的轨迹的方程是.

（Ⅱ）设点，

，因为，

所以，

因此，，

即，，

又因为点在抛物线上，

所以

（1）

由于点在直线上，所以，

把此式代入（1）式并化简得：（2），

同理由条件可得：（3），

由（2），（3）得是关于的方程的两根，

由韦达定理得.即为定值.