Question

设 f（x）=|lnx|，若函数 g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、（

  ln2

  2

  ，e）
• C、（

  ln2

  2

  ，

  1

  e

  ）
• D、（0，

  ln2

  2

  ）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点可化为|lnx|-ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，令a=

|lnx|

x

=

- lnx x ，0＜x＜1 lnx x ，1≤x＜4

；讨论函数的取值即可．

解答： 解：∵g（x）=f（x）-ax在区间（0，4）上有三个零点，
∴|lnx|-ax=0在区间（0，4）上有三个不同的解，
令a=

|lnx|

x

=

- lnx x ，0＜x＜1 lnx x ，1≤x＜4

；
则当0＜x＜1时，-

lnx

x

的值域为（0，+∞）；
当1≤x＜4时，a=

lnx

x

在[1，e]上是增函数，
0≤

lnx

x

≤

1

e

，
在[e，4）上是减函数，

ln2

2

＜

lnx

x

≤

1

e

；
故当a∈（

ln2

2

，

1

e

）时，有三个不同的解．
故选C．

点评：本题考查了函数的零点与方程的根及函数的取值的关系应用，属于中档题．