Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）=f（1-x）成立，且（x-1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（

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），c=f（3），则a，b，c三者的大小关系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、b＜c＜a
• C、c＜a＜b
• D、c＜b＜a

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：由题意得对任意x∈R，都有f（x+1）=f（1-x），得到函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．由当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．比较自变量的大小即可得到函数值的大小．

解答： 解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x+1）=f（1-x）成立，
所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（-1）．
因为当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，
所以f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递增．
因为-1＜0＜

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，
所以f（-1）＜f（0）＜f（

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），即f（3）＜f（0）＜f（

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），
所以c＜a＜b．
故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，函数的性质一直是各种考试考查的重点内容，属于中档题