Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且{

1

an

}是等差数列，公差d＞0，a₁=

1

2

，S₃=

13

12

，函数f（x）=

x

1+x

-ln（1+x）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：f（a_n）＜0（n∈N^*）；
（Ⅲ）求证：s_n＜ln（1+n）对一切正整数n都成立．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a2=

1

2+d

，a3=

1

2+2d

，从而

1

an

=2+（n-1）d=1+n，由此能求出a_n=

1

n+1

．
（Ⅱ）由已知得f′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

，从而f（x）在[0，+∞）上是减函数，由此能证明f（a_n）＜0．
（Ⅲ）用数学归纳法能证明S_n＜ln（1+n）对一切正整数n都成立．

解答： （Ⅰ）解：∵a1=

1

2

，
∴

1

a2

=

1

a1

+d=2+d，

1

a3

=

1

a2

+2d=2+2d，
∴a2=

1

2+d

，a3=

1

2+2d

，
∴S₃=

1

2

+

1

2+d

+

1

2+2d

=

13

12

，
∵d＞0，∴d=1，∴

1

an

=2+（n-1）d=1+n，
∴a_n=

1

n+1

．
（Ⅱ）证明：∵f（x）=

x

1+x

-ln（1+x），
∴f′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

，
当x＞0时，f′（x）＜0，f′（0）=0，
∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，
又f（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜0，
∵n∈N^*，an=

1

1+n

＞0，∴f（a_n）＜0．
（Ⅲ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，S1=a1=

1

2

=ln

e

＜ln

4

=ln（1+1），
∴n=1时，不等式S_n＜ln（1+n）成立．
②假设n=k（k∈N^*）不等式成立，即S_k＜ln（1+k）成立，
则S_k+1=Sk+

1

1+(k+1)

＜ln(1+k)+

1

1+(k+1)

，
∵f(ak)=f(

1

1+k

)＜0，
∴ln（1+

1

1+k

）＞

1 1+k

1+ 1 1+k

=

1

1+(k+1)

，
∴ln[1+（1+k）]-ln（1+k）=ln（1+

1

1+k

）＞

1 1+k

1+ 1 1+k

=

1

1+(k+1)

，
∴ln（1+k）+

1

1+(k+1)

＜ln[1+（k+1）]，
∴S_k+1＜ln[1+（k+1）]，
∴n=k+1时，不等式S_n＜ln（1+n）成立，
由①②，得S_n＜ln（1+n）对一切正整数n都成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、数学归纳法的合理运用．