Question

已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n）（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得

a1+d=5 2a1+8d=22

，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由已知得b_n=f（a_n）=

1

an2-1

=

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22，
∴

a1+d=5 2a1+8d=22

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵f（x）=

1

x2-1

，
∴b_n=f（a_n）=

1

an2-1

=

1

4n2+4n

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n-1)

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．