Question

已知函数f(x)=2sin2wx+2

3

sinwx•coswx-1(w＞0)的图象与x轴两相邻交点之间的距离为π．
（1）求f（x）的解析式，并讨论f（x）的单调性．
（2）将函数f（x）的图象向左平移

π

4

个单位，得到的函数g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及g（x）取得最大值时x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，第一、三项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由f（x）图象与x轴两相邻交点之间的距离为π，得到T=2π，求出ω的值，确定出f（x）解析式，由正弦函数的单调区间即可求出f（x）的单调区间；
（2）根据平移规律“左加右减”得到g（x）解析式，利用正弦函数的图象与性质即可求出g（x）的最大值，以及此时x的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
∵f（x）图象与x轴两相邻交点之间的距离为π，
∴T=2π，即ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

），
当2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）时，f（x）为增函数；
当2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

4

（k∈Z）时，f（x）为减函数；
（2）根据题意得到g（x）=2sin（2（x+

π

4

）-

π

6

）=2sin（2x+

π

3

），
当2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

12

（k∈Z）时，g（x）最大值为2．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．