Question

2．数列{a_n}为一等比数列，a_n＞0，a₂=4，a₄=16，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg{a}_{n+1}+lg{a}_{n+2}+…+lg{a}_{2n}}{{n}^{2}}$．

Answer 1

分析 设数列{a_n}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式可得公比为2，再由等比数列的求和公式和对数的运算性质，可得所求极限．

解答 解：设数列{a_n}为公比为q的等比数列，a_n＞0，a₂=4，a₄=16，
可得q²=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=4，解得q=2（负的舍去），
则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg{a}_{n+1}+lg{a}_{n+2}+…+lg{a}_{2n}}{{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg（{a}_{n+1}{a}_{n+2}…{a}_{2n}）}{{n}^{2}}$
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{lg（{{a}_{1}}^{n}{2}^{n+n+1+…+2n-1}）}{{n}^{2}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{nlg{a}_{1}+\frac{n（3n-1）}{2}lg2}{{n}^{2}}$
=0+$\frac{3}{2}$lg2=$\frac{3}{2}$lg2．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列极限的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．