Question

18．设函数y=f（x）是定义在R上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求$f（1）、f（{\frac{1}{9}}）$的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1易得f（1）=0，利用f（9）=f（3）+f（3），可得f（9），再利用$f（9）+f（{\frac{1}{9}}）=f（1）=0$，可得$f（\frac{1}{9}）$．
（2）$0＜{x_1}＜{x_2}⇒\frac{x_2}{x_1}＞1⇒f（{\frac{x_2}{x_1}}）＜0$，可得$f（{x_2}）=f（{\frac{x_2}{x_1}•{x_1}}）=f（{\frac{x_2}{x_1}}）+f（{x_1}）＜f（{x_1}）$，即可证明．
（3）由条件（1）及（1）的结果得：$f[{x（{2-x}）}]＜f（{\frac{1}{9}}）$，其中0＜x＜2，再利用单调性即可得出．

解答 （1）解：令x=y=1，易得f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且$f（9）+f（{\frac{1}{9}}）=f（1）=0$，得$f（{\frac{1}{9}}）=2$；
（2）证明：$0＜{x_1}＜{x_2}⇒\frac{x_2}{x_1}＞1⇒f（{\frac{x_2}{x_1}}）＜0$，
∴$f（{x_2}）=f（{\frac{x_2}{x_1}•{x_1}}）=f（{\frac{x_2}{x_1}}）+f（{x_1}）＜f（{x_1}）$，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（3）解：由条件（1）及（1）的结果得：$f[{x（{2-x}）}]＜f（{\frac{1}{9}}）$，其中0＜x＜2，
由（2）得：$\left\{{\begin{array}{l}{x（{2-x}）＞\frac{1}{9}}\\{0＜x＜2}\end{array}}\right.$，解得x的范围是$（{1-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1+\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}）$．

点评 本题考查了抽象函数的求值、单调性、解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．