Question

13．（1）求过点P（3，4）且在两个坐标轴上截距相等的直线l方程．
（2）已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．

Answer 1

分析 （1）当直线过原点时，直接写出直线方程，当不过原点时，设出直线的截距式方程x+y=a，代入点的坐标求解a，则答案可求．
（2）求出直线AB的斜率，线段AB的垂直平分线l方程，然后求解圆心C的坐标，圆的半径，然后求解圆的方程．

解答 解：（1）解：当直线过原点时，直线方程为y=$\frac{4}{3}$x，即4x-3y=0；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．
则3+4=a，得a=7．
∴直线方程为x+y-7=0．
∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0．
故答案为：4x-3y=0或x+y-7=0．
（2）因为A（1，1），B（2，-2），所以线段AB的中点D的坐标为$（{\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}}）$，直线AB的斜率为${k_{AB}}=\frac{-2-1}{2-1}=-3$，因此线段AB的垂直平分线l方程为$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{x-\frac{3}{2}}）$，即x-3y-3=0
圆心C的坐标是方程组$\left\{{\begin{array}{l}{x-3y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}}\right.$的解，解此方程组得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-2}\end{array}}\right.$，
所以圆心C的坐标为（-3，-2）圆的半径$r=|{AC}|=\sqrt{{{（{1+3}）}^2}+{{（{1+2}）}^2}}=5$，
所以圆的方程为（x+3）²+（y+2）²=25．

点评 本题考查了直线的点斜式方程和截距式方程，考查了分类讨论的数学思想方法，圆的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．