Question

1．已知函数f（x）=|2x-1|+|x+a|（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求y=f（x）图象与直线y=3围成区域的面积；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}-3x（x＜-1）\\ 2-x（-1≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，画出其图象如图，根据图象求解；
（Ⅱ）①当$-a＞\frac{1}{2}$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜\frac{1}{2}）\\ x-a-1（\frac{1}{2}≤x＜-a）\\ 3x+a-1（x≥-a）\end{array}\right.$，②当$-a≤\frac{1}{2}$，即$a≥-\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜-a）\\-x+a+1（-a≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x+a-1（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，分别求最值即可求解

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}-3x（x＜-1）\\ 2-x（-1≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$
其图象如图所示，

易知，围成区域的面积为$\frac{3}{2}$
（Ⅱ）①当$-a＞\frac{1}{2}$，即$a＜-\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜\frac{1}{2}）\\ x-a-1（\frac{1}{2}≤x＜-a）\\ 3x+a-1（x≥-a）\end{array}\right.$
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}-a-1$；
又$f{（x）_{min}}=1⇒\frac{1}{2}-a-1=1⇒a=-\frac{3}{2}$，
②当$-a≤\frac{1}{2}$，即$a≥-\frac{1}{2}$时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x-a+1（x＜-a）\\-x+a+1（-a≤x＜\frac{1}{2}）\\ 3x+a-1（x≥\frac{1}{2}）\end{array}\right.$，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2}）=|\frac{1}{2}+a|$=$\frac{1}{2}+a=1⇒a=\frac{1}{2}$，
∴$a=-\frac{3}{2}$或$a=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了绝对值函数图象及性质，考查了分类讨论思想、数形结合思想，属于中档题．