Question

11．设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比q＞1，由S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．可得：a₁（1+q+q²）=7，6a₂=a₁+3+a₃+4，即6a₁q=a₁+7+${a}_{1}{q}^{2}$，联立解得a₁，q．即可得出．
（2）b_n=a_n+n=2^n-1+n，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比q＞1，∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
∴a₁（1+q+q²）=7，6a₂=a₁+3+a₃+4，即6a₁q=a₁+7+${a}_{1}{q}^{2}$，
联立解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=a_n+n=2^n-1+n，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ-1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．