Question

2．已知A={x|x²+（p+2）x+1=0，x∈R}，且A∩{x|x＞0}=∅，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析 A∩R⁺=∅?A=∅，或方程x²+（p+2）x+1=0只有非正根，分别对两种情况进行求解．

解答 解：∵A∩R⁺=∅?A=∅，或方程x²+（p+2）x+1=0只有非正根，
（1）当A=∅，即方程x²+（p+2）x+1=0无实数解，即△=（p+2）²-4＜0，
解不等式，得-4＜p＜0；
（2）当方程x²+（p+2）x+1=0只有非正根，
设方程的两根为x₁，x₂，注意x₁•x₂=1，
说明x₁，x₂，同号则有$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\{x_1}+{x_2}≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\-（p+2）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}p≥0，或p≤-4\\ p≥-2\end{array}\right.$，得p≥0．
满足题意的p值集合为 （-4，0）∪[0，+∞），
即实数p的取值范围为（-4，∞）．

点评 本题考查了集合的运算，考查了转化思想，计算能力，属于中档题．