【题目】设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x∈(1,+∞)时,xf(x)+xe1﹣x>1恒成立,求a的取值范围.(其中,e=2.718…为自然对数的底数).
【答案】
(1)解:由题意,f′(x)=2ax﹣ =
,x>0,
①当a≤0时,2ax2﹣1≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a>0时,f′(x)= ,当x∈(0,
)时,f′(x)<0,
当x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(0, )上单调递减,在(
,+∞)上单调递增.
(2)解:原不等式等价于f(x)﹣ +e1﹣x>0在x∈(1.+∞)上恒成立,
一方面,令g(x)=f(x)﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣
+e1﹣x﹣a,
只需g(x)在x∈(1.+∞)上恒大于0即可,
又∵g(1)=0,故g′(x)在x=1处必大于等于0.
令F(x)=g′(x)=2ax﹣ +
﹣e1﹣x,g′(1)≥0,可得a≥
,
另一方面,当a≥ 时,F′(x)=2a+
﹣
+e1﹣x≥1+
﹣
+e1﹣x=
+e1﹣x,
∵x∈(1,+∞),故x3+x﹣2>0,又e1﹣x>0,故F′(x)在a≥ 时恒大于0.
∴当a≥ 时,F(x)在x∈(1,+∞)单调递增.
∴F(x)>F(1)=2a﹣1≥0,故g(x)也在x∈(1,+∞)单调递增.
∴g(x)>g(1)=0,即g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0.
综上,a≥ .
【解析】(1)利用导数的运算法则得出f′(x),通过对a分类讨论,利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性;(2)令g(x)=f(x)﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣
+e1﹣x﹣a,可得g(1)=0,从而g′(1)≥0,解得得a≥
,当a≥
时,可得F′(x)在a≥
时恒大于0,即F(x)在x∈(1,+∞)单调递增.由F(x)>F(1)=2a﹣1≥0,可得g(x)也在x∈(1,+∞)单调递增,进而利用g(x)>g(1)=0,可得g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0,综合可得a所有可能取值.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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【题目】制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?
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【题目】对于函数f(x)与g(x)和区间D,如果存在x0∈D,使|f(x0)﹣g(x0)|≤1,则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”.现给出两个函数:
①f(x)=x2 , g(x)=2x﹣2;② ,g(x)=x+2;
③f(x)=e﹣x , ;④f(x)=lnx,g(x)=x.
则在区间(0,+∞)上存在唯一“友好点”的是 . (填上所有正确的序号)
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【题目】平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),圆C的参数方程为
(
为参数),以坐标原点O为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线l和圆C相交于A,B两点,求弦AB与其所对劣弧所围成的图形面积.
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【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn , 且 是1与an的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn为数列{ }的前n项和,证明:
≤Tn<1(n∈N*).
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【题目】数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线称为欧拉线已知的顶点
,若其欧拉线的方程为
,则顶点
的坐标为( )
A. B.
C.
D.
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