Question

【题目】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x∈（1，+∞）时，xf（x）+xe1﹣x＞1恒成立，求a的取值范围．（其中，e=2.718…为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，f′（x）=2ax﹣ = ，x＞0，

①当a≤0时，2ax2﹣1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．

②当a＞0时，f′（x）= ，当x∈（0， ）时，f′（x）＜0，

当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，

故f（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增．

（2）解：原不等式等价于f（x）﹣ +e1﹣x＞0在x∈（1．+∞）上恒成立，

一方面，令g（x）=f（x）﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a，

只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，

又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．

令F（x）=g′（x）=2ax﹣ + ﹣e1﹣x，g′（1）≥0，可得a≥ ，

另一方面，当a≥ 时，F′（x）=2a+ ﹣ +e1﹣x≥1+ ﹣ +e1﹣x= +e1﹣x，

∵x∈（1，+∞），故x3+x﹣2＞0，又e1﹣x＞0，故F′（x）在a≥ 时恒大于0．

∴当a≥ 时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．

∴F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．

∴g（x）＞g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．

综上，a≥ ．

【解析】（1）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；（2）令g（x）=f（x）﹣ +e1﹣x=ax2﹣lnx﹣ +e1﹣x﹣a，可得g（1）=0，从而g′（1）≥0，解得得a≥ ，当a≥ 时，可得F′（x）在a≥ 时恒大于0，即F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．由F（x）＞F（1）=2a﹣1≥0，可得g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增，进而利用g（x）＞g（1）=0，可得g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0，综合可得a所有可能取值．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．