Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且 是1与an的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Tn为数列{ }的前n项和，证明： ≤Tn＜1（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解： n=1时，a1=1

n≥2时，由 是1与an的等差中项，

∴ ，

又 ，

两式相减得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0

∵an＞0

∴an﹣an﹣1=2

∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，即an=2n﹣1．

（2）解：∵ = =

∴Tn=

= ．

∵n∈N+

∴Tn＜1

又∵Tn递增．

∴ ，

综上， 成立

【解析】（1）由等差中项，列出Sn与an的关系式，根据 求解出数列{an}的通项公式．（2）数列{ }的结构分析，采用裂项相消求数列前n项和Tn ， 结合数列单调性及简单的放缩法，求得范围．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．