Question

若关于x的不等式ax²≥e^x的解集中的正整数解有且只有3个，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意知a＞0，则ax²≥e^x化为a≥

ex

x2

，令f（x）=

ex

x2

，利用导数可求得f（x）的最小值f（2），根据f（x）的单调性和函数值f（1）、f（3）、f（4）的大小关系可得答案．

解答： 解：由题意知a＞0，则ax²≥e^x化为a≥

ex

x2

，
令f（x）=

ex

x2

，则f′（x）=

ex(x-2)

x3

，
当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
∴f（x）_min=f（2）=

e2

4

，
又f（1）=e，f（3）=

e3

9

，f（4）=

e4

16

，且f（4）＞f（1）＞f（3），
不等式ax²≥e^x的解集中的正整数解有且只有3个，
∴e≤a≤

e4

16

，即实数a的取值范围是[e，

e4

16

]，
故答案为：[e，

e4

16

]．

点评：该题考查函数恒成立，考查利用导数研究函数的最值，恰当构造函数借助导数求最值是解题关键．