Question

观察不等式：1+

1

2

+

1

3

＜2，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＜3，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＜4，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

31

＜5，…，由此归纳第n个不等式为

 

．要用数学归纳法证明该不等式，由n=k（k≥1）时不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数为

 

．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：第一空：根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式．
观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为

1

2n+1-1

，然后判断n=k+1时增加的项数即可．

解答： 解：第一空：∵不等式的右侧：2=1+1，3=2+1，4=3+1，…
左侧：每一项分别有：2²-1，3²-1，4²-1，…项，每一项中最后一项的分母为：

1

2n+1-1

．
∴由此归纳第n个不等式为：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1-1

＜n+1(n∈N*)，
第二空：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为

1

2n+1-1

；
由n=k，末项为

1

2k+1-1

，到n=k+1，末项为

1

2k+1-1+2k+1

，∴应增加的项数为2^k+1．
故答案为：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1-1

＜n+1(n∈N*)；2^k+1（注：每空2分）

点评：本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳．考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．