Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中点，则直线与AE与平面ABC₁D₁所成角的正弦值

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：综合题,空间角

分析：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线AE与平面ABC₁D₁所成的角的正弦值．

解答： 解：以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，
∴A（1，0，0），E（1，0.5，1），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
∴

AE

=（0，0.5，1），

AB

=（0，1，0），

AD1

=（-1，0，1），
设平面ABC₁D₁的法向量

n

=（x，y，z），
∴

-x+z=0 y=0

，∴

n

=（1，0，1），
设直线AE与平面与平面ABC₁D₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

10

5

．
故答案为：

10

5

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．