Question

如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：取BC的中点D，连接D₁F₁，F₁D，AD．利用三角形的中位线定理可得D₁B∥D₁F，因此∠DF₁A就是BD₁与AF₁所成角或其补角．在△DF₁A中利用余弦定理即可得出．

解答： 解：取BC的中点D，连接D₁F₁，F₁D，AD．
∴D₁B∥D₁F，∴∠DF₁A就是BD₁与AF₁所成角或其补角．
设BC=CA=CC₁=2，则AD=

5

，AF₁=

5

，DF₁=

6

．
在△DF₁A中，利用余弦定理可得cos∠DF₁A=

( 6 )2+( 5 )2-( 5 )2

2× 6 × 5

=

30

10

．
故答案为：

30

10

．

点评：本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、余弦定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．