Question

设x、y、z∈R⁺，x²+y²+z²=1，当x+2y+2z取得最大值时，x+y+z=

 

．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用

专题：选作题,不等式

分析：考虑到应用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先构造出柯西不等式求出（x+2y+2z）²的最大值，开平方根即可得到答案．

解答： 解：根据柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）构造得：
即（x+2y+z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+2²）≤1×9=9
故x+2y+3z≤3．当且仅当x=

y

2

=

z

2

=

1

3

时取等号．
∴x+y+z=

5

3

．
故答案为：

5

3

，

点评：此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于此类题目有很多解法，但大多数比较繁琐，而用柯西不等式求解非常简练，需要同学们注意掌握．