Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=3，b=2

6

，B=2A．
（Ⅰ）求cosA的值； 
（Ⅱ）求边长c的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由a条件利用正弦定理求得cosA的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由cosA=

6

3

求得sinA的值，可得sinB=sin2A的值，求出sinC=sin（A+B）的值，再由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

求得c的值．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由a=3，b=2

6

，B=2A，利用正弦定理可得

3

sinA

=

2 6

sin2A

，求得cosA=

6

3

．
（Ⅱ）在△ABC中，由于cosA=

6

3

，∴sinA=

3

3

．
又B=2A，故cosB=cos2A=1-2sin²A=

1

3

，∴sinB=sin2A=2sinAcosA=

2 2

3

，
再由三角形内角和公式可得A+B+C=π，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

3

3

•

1

3

+

6

3

•

2 2

3

=

5 3

9

．
再由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

3

3 3

=

c

5 3 9

，求得 c=5．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，二倍角公式、两角和的正弦公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．