Question

已知A，B为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上两动点，F₁，F₂分别为其左右焦点，直线AB过点F₂（c，0），且不垂直于x轴，△ABF₁的周长为8，且椭圆的短轴长为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点P为椭圆C的左端点，连接PA并延长交直线l：x=4于点M．求证：直线BM过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用已知条件以及椭圆的定义，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线PA：x=m₁y-2，由

x=m1y-2 x2 4 + y2 3 =1

求出A的坐标，同理求出B的坐标，由A，F₂，B三点共线化简A、B坐标，求出M坐标以及BM的方程，利用直线系得到定点坐标，

解答： （本小题满分（12分），（Ⅰ）小问（4分），（Ⅱ）小问8分）
解：（Ⅰ）依题意有：

4a=8 2b=2 3

⇒

a=2 b= 3

，
则椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）由椭圆方程可知P（-2，0），F₂（1，0），点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
设直线PA：x=m₁y-2，由

x=m1y-2 x2 4 + y2 3 =1

得(3

m

2 1

+4)y2-12m1y=0，从而y1=

12m1

3 m 2 1 +4

，x1=m1y1-2=

6 m 2 1 -8

3 m 2 1 +4

，即点A(

6 m 2 1 -8

3 m 2 1 +4

，

12m1

3 m 2 1 +4

)
同理设直线PB：x=m₂y-2，可得B(

6 m 2 2 -8

3 m 2 2 +4

，

12m2

3 m 2 2 +4

)…（7分）
由A，F₂，B三点共线可得kAF2=kBF2，即

y1

x1-1

=

y2

x2-1

，代入A，B两点坐标化简可得

m1

m 2 1 -4

=

m2

m 2 2 -4

⇒(m1-m2)(m1m2+4)=0⇒m₁m₂+4=0…（9分）
直线l：x=4，可得点M(4，

6

m1

)，即M(4，-

3

2

m2)
从而直线BM的方程为y=

12m2 3 m 2 2 +4 + 3 2 m2

6 m 2 2 -8 3 m 2 2 +4 -4

(x-4)-

3

2

m2
化简得y=-

3

4

m2(x-4)-

3

2

m2，即y=-

3

4

m2(x-2)，
从而直线BM过定点（2，0）．…（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，直线系方程的应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．