Question

已知圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4，则四边形ABCD的外接圆半径R的值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：画出四边形ABCD，连接BD，在三角形ABD和三角形BCD中，分别利用余弦定理表示出cosA与cosC，根据A与C互补，得到cosA=-cosC，求出BD的长，进而求出cosA的值，得到sinA的值，在三角形ABD中，利用正弦定理即可求出四边形ABCD外接圆半径R的值．

解答： 解：根据题意画出图形，如图所示，
连接BD，在△ABD中，AB=2，AD=4，
利用余弦定理得：cosA=

AB2+AD2-BD2

2AB•AD

=

4+16-BD2

16

，
在△BCD中，BC=6，CD=4，
利用余弦定理得：cosC=

BC2+CD2-BD2

2BC•CD

=

36+16-BD2

48

，
∵圆内接四边形ABCD，
∴∠A+∠C=180°，即cosA=-cosC，
∴

20-BD2

16

=-

52-BD2

48

，
整理得：BD=2

7

，
∴cosA=

20-28

16

=-

1

2

，
∴sinA=

1-cos2A

=

3

2

，
利用正弦定理得：

BD

sinA

=2R，
则R=

BD

2sinA

=

2 7

2× 3 2

=

2 21

3

．
故答案为：

2 21

3

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．