Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为2，侧棱长为3

2

，点E在侧棱AA₁上，点F在侧棱BB₁上，D为线段CE上任意一点，且AE=2

2

，BF=

2

．
（I） 求证：C₁E⊥FD；
（Ⅱ） 若D为线段CE的中点，求二面角C₁-FD-E的余弦值的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）欲证C₁E⊥平面CEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证C₁E与平面CEF内两相交直线垂直，根据勾股定理可知EF⊥C₁E，C₁E⊥CE，又EF∩CE=E，满足线面垂直的判定定理，最后根据线面垂直的性质可知CF⊥C₁E；
（II）确定∠EDC₁为二面角C₁-FD-E的一个平面角，求出ED=

3

，C1E=

6

，C₁D=3，即可求二面角C₁-FD-E的余弦值的大小．

解答： （I）证明：由已知可得CC₁=3

2

，CE=C₁F=2

3

，
EF²=AB²+（AE-BF）²，EF=C₁E=

6

，
于是有EF²+C₁E²=C₁F²，CE²+C₁E²=C₁C²，
∴EF⊥C₁E，C₁E⊥CE．又EF∩CE=E，
∴C₁E⊥平面CEF
由CF?平面CEF，
故C₁E⊥FD；
（Ⅱ）由题意易求EF=CF=

6

，
∵D为线段CE的中点，∴FD⊥ED，
又∵C₁E⊥FD，
∴FD⊥面C₁ED，∴FD⊥C₁D，
∴∠EDC₁为二面角C₁-FD-E的一个平面角．
在RT△C₁DE中，ED=

3

，C1E=

6

，∴C₁D=3，
∴cos∠EDC1=

3

3

，
∴二面角C₁-FD-E的余弦值为

3

3

．

点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力．