Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，点E在CC₁上，且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线A₁D与平面BDE所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）要证A₁C⊥平面BED，只需证明A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，求二者的数量积可求直线A₁D与平面BDE所成的角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：依题设知CE=1．连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A₁C．
在平面A₁CA内，连接EF交A₁C于点G，
由于

AA1

FC

=

AC

CE

=2

2

，
故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE与∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A₁C⊥平面BED；
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
（Ⅱ）解：建立如图所示直角坐标系D-xyz
依题设，D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．
∴

DE

=（0，2，1），

DB

=（2，2，0），

A1D

=（2，0，4），
设平面BDE的法向量为

m

=（x，y，z），则

2y+z=0 2x+2y=0

，
∴x=1，y=-1，z=2，
∴

m

=（1，-1，2）
设直线A₁D与平面BDE所成的角为α，则sinα=

2+8

4+16 • 1+1+4

=

30

6

，
∴cosα=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，线面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．