Question

已知函数f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0），f（0）=1，f（

3

）=2-

3

．
（1）求函数f（x）的表达式及值域；
（2）若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，问是否存在实数m，使得命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g（

m-1

4

）＞

3

4

满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）利用函数f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0），f（0）=1，f（

3

）=2-

3

．代入解得b，a．即可得出f(x)=

1+x2

-x(x≥0)．由于x≥0，即可得出f(x)=

1

1+x2 +x

单调递减，因此0＜f（x）≤f（0）=1．即可得出函数f（x）的值域．
（2）由于函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，可得命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）为真命题?m²-m＞3m-4，解得m．又f(

3

4

)=

1

2

，故g(

1

2

)=

3

4

，因此命题q：g（

m-1

4

）＞

3

4

为真命题?0＜

m-1

4

＜

1

2

，基础即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0），f（0）=1，f（

3

）=2-

3

．
∴b=1，

3

a+b

1+( 3 )2

=2-

3

，解得b=1，a=-1．
∴f(x)=

1+x2

-x(x≥0)．
∵x≥0，∴f(x)=

1

1+x2 +x

单调递减，
∴0＜f（x）≤f（0）=1．
因此函数f（x）的值域为（0，1]．
（2）∵函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）为真命题?m²-m＞3m-4，解得m≥

4

3

且m≠2．
∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，
又f(

3

4

)=

1

2

，故g(

1

2

)=

3

4

，
因此命题q：g（

m-1

4

）＞

3

4

为真命题?0＜

m-1

4

＜

1

2

?1＜m＜3．
故存在m∈[

4

3

，2)∪(2，3)满足复合命题p∧q为真命题．

点评：本题考查了函数的解析式及其性质、复合命题的真假判断、互为反函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．