Question

求证：二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（1，0）的充要条件为a+b+c=0．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：必要性：由y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（1，0），可知方程ax²+bx+c=0有一个根为1，代入可得a+b+c=0；
充分性：若a+b+c=0，则y=ax²+bx+c-（a+b+c=0）=（x-1）（ax+a+b），将x=1代入可得y=0．

解答： 证明：（1）必要性：由y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（1，0），
可知方程ax²+bx+c=0有一个根为1，
即a+b+c=0；
（2）充分性：若a+b+c=0，则y=ax²+bx+c-（a+b+c=0）=（x-1）（ax+a+b），
当x=1时，y=0，即函数y=ax²+bx+c的图象过（1，0）点．
故函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（1，0）点的充要条件为a+b+c=0．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，充要条件的证明，熟练掌握充要条件的证明格式是解答的关键．