Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x²+2．求f（x）的解析式及减区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的乘法与除法法则,斜率的计算公式

专题：导数的概念及应用

分析：求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x²+2．
∴f（0）=2．函数的定义域为（-1，+∞）
则f（x）=ln（x+1）-2x-f′（0）x²+2．
∴f′（x）=

1

x+1

-2-2f′（0）x．
则f′（0）=1-2=-1．
即f（x）=ln（x+1）-2x+x²+2．
f′（x）=

1

x+1

-2+2x，
由f′（x）=

1

x+1

-2+2x＜0，
即

1

x+1

＜2-2x，
则1＜2（x+1）（1-x），
则

1

2

＜1-x2，
即x2＜

1

2

，则-

2

2

＜x＜

2

2

，
即函数的减区间为（-

2

2

，

2

2

）．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．