Question

等差数列{a_n}中，a₁=1，

S4

a2

=5；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

a 2 n+1 -1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式由已知条件求出公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用裂项求和法求解．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
则由

S4

a2

=5得，

4a1+6d

a1+d

=5，
解得d=1…（2分）
∴a_n=n…（4分）
（2）bn=

1

a 2 n+1 -1

=

1

n2+2n

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)…（6分）
T_n=T₁+T₂+T₃+…+T_n-1+T_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)…（11分）
∴Tn=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．