Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[

π

2

，

3

2

π]
（Ⅰ）求|

a

+

b

|的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|的最小值，并求此时x的值；
（Ⅲ）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，其中k＞0，求

a

•

b

的最小值，并求此时

a

与

b

的夹角的大小．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的模的计算公式和数量积的运算及其性质即可得出；
（2）由x∈[

π

2

，

3

2

π]，可得-1≤cosx≤0．可得函数f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cos2x-

2+2cos2x

=2(cosx+

1

2

)2-

3

2

．再利用二次函数的单调性即可得出．
（3）由（1）可得：|

a

|=|

b

|=1．由于|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k＞0），可得|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2．展开为

a

•

b

=

1

4

(k+

1

k

)，再利用基本不等式可得最小值，利用向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），
∴|

a

|=

(cos 3 2 x)2+(sin 3 2 x)2

=1，|

b

|=

(cos x 2 )2+(-sin x 2 )2

=1．

a

•

b

=cos

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

=cos2x．
∵x∈[

π

2

，

3

2

π]，∴2x∈[π，3π]，∴-1≤cos2x≤1．
∴|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2cos2x

∴0≤|

a

+

b

|≤2．
（2）∵x∈[

π

2

，

3

2

π]，∴-1≤cosx≤0．
∴函数f（x）=

a

•

b

-|

a

+

b

|=cos2x-

2+2cos2x

=2cos2x-1-

4cos2x

=2cos²x-1+2cosx=2(cosx+

1

2

)2-

3

2

．
∴当cosx=-

1

2

，即x=

2π

3

或x=

4π

3

时，
f（x）取最小值-

3

2

．
（3）由（1）可得：|

a

|=|

b

|=1．
∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k＞0）
∴|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2．
∴k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

)，
∴k2+1+2k

a

•

b

=3+3k2-6k

a

•

b

，
化为

a

•

b

=

1

4

(k+

1

k

)，
∵k＞0，∴

a

•

b

≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

．当且仅当k=1时等号成立．
∴

a

•

b

的最小值为

1

2

，
此时cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a | | b |

=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=60°．

点评：本题考查了向量的模的计算公式、数量积的运算及其性质、二次函数的单调性、基本不等式、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．