Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|，若x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，则实数a=

 

．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：转化思想,不等式

分析：由题意，f（x）≤3可化为|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，得|x-2a|≤4-2x，即3x-4≤2a≤4-x 对x∈[1，2]恒成立，在x∈[1，2]时，求得3x-4 的最大值和4-x的最小值，即得a的值．

解答： 解：∵f（x）=|2x-1|+|x-2a|，且f（x）≤3，
∴|x-2a|≤3-|2x-1|；
又∵x∈[1，2]，
∴|x-2a|≤4-2x，
即 2x-4≤2a-x≤4-2x，
∴3x-4≤2a≤4-x对x∈[1，2]恒成立，
当1≤x≤2时，3x-4的最大值2，4-x的最小值为2，
∴a=1． 
故答案为：1．

点评：本题考查了含有绝对值不等式的解法问题，解题时应利用等价转化、分类讨论的数学思想，是中档题．