Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．求点P到平面ABD₁的距离；

Answer 1

分析：方法一：如果直接研究三棱锥P-ABD₁的体积，无论怎样“转换”都不易求可利用等体积法进行求解，在DD₁上取一点Q，使DD₁=4DQ，根据V_P-ABD1=V_Q-ABD1建立等式关系，求出所求即可；
方法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，求出面ABD₁的法向量

?

n

，然后求出

.

PB

在面ABD₁的法向量

?

n

上的射影即可；
方法三：“补齐”截面ABD₁即正方体的对角面ABC₁D₁，过P作PE⊥BC₁于E，根据线面垂直的性质可知PE的长度即为点P到平面ABD₁的距离，最后求出PE的长即可．

解答：解：方法一：“等积转换”．
如果直接研究三棱锥P-ABD₁的体积，无论怎样“转换”都不易求；
在DD₁上取一点Q，使DD₁=4DQ，则PQ∥面ABD₁，如图1；故V_P-ABD1=V_Q-ABD1，
记P到面ABD₁的距离为h，则Q到面ABD₁的距离为h，由V_Q-ABD1=V_B-QAD1得：h=

3 2

2

；
方法二：以D为原点建系，如图2，A（4，0，0），B（4，4，0），D₁（0，0，4），
P（0，4，1），不难求出面ABD₁的法向量

?

n

=（1，0，1），

.

PB

=（4，0，-1），h=

3

2

=

3 2

2

；
方法三：“补齐”截面ABD₁即正方体的对角面ABC₁D₁，过P作PE⊥BC₁于E，如图3，
∵PE⊥AB，∴PE⊥面ABD₁，∴PE的长度即为点P到平面ABD₁的距离，易求PE=

3 2

2

．

点评：本题主要考查了点到平面的距离的求解，以及等体积法的应用等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．