Question

函数f（x）=cos³x+sin²x-cosx上最大值等于（　　）

• A、

  4

  27

• B、

  8

  27

• C、

  16

  27

• D、

  32

  27

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：利用换元法将函数进行换元，求函数的导数，利用导数和函数最值之间的关系即可得到结论．

解答： 解：f（x）=cos³x+sin²x-cosx=cos³x+1-cos²x-cosx，
令t=cosx，则-1≤t≤1，
则函数f（x）等价为g（t）=t³+1-t²-t，-1≤t≤1
函数的导数g′（t）=3t²-2t-1=（t-1）（3t+1），-1≤t≤1，
当-

1

3

≤t≤1时，g′（t）≤0，函数单调递减，
当-1≤t≤-

1

3

时，g′（t）≥0，函数单调递增，
则t=-

1

3

，函数g（t）取得极大值，同时也是最大值g（-

1

3

）=

32

27

，
故选：D．

点评：本题主要考查函数的最值，利用换元法，结合函数最值和函数导数之间的关系是解决本题的关键．