Question

已知函数f(x)=4x+

a

x+1

，a＞-1，a为常数，
（1）若a=1，证明f（x）≥0；
（2）对任意x∈（1+∞）f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把原函数变形为f（x）=4（x+1）+

1

x+1

-4，再利用基本不等式即可证明结论；
（2）先把问题转化为关于a的不等式a＞（1-4x）（1+x），再求出函数g（x）=（1-4x）（1+x）在（1，+∞）上的最值即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）a=1时，f(x)=4x+

1

x+1

，因x＞-1，所以x+1＞0，
所以f(x)=4(x+1)+

1

x+1

-4≥4-4=0，所以f(x)≥0．
（2）对任意x∈（1，+∞）有f（x）＞1，

即4x+ 1 x+1 ＞1得a＞(1-4x)(1+x)，令g(x)=(1-4x)(1+x)， g(x)=-4x2-3x+1在(1，+∞)上递增，所以g(x)＜g(1)=-6， ∴a≥-6，即a的取值范围是[-6，+∞].

点评：本题主要考查函数恒成立问题以及基本不等式的应用．在应用基本不等式解题时，一定要先看是否满足其成立的条件．