Question

关于x的方程(x²-1)²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题：

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是(    )

A.0                  B.1                   C.2                    D.3

Answer 1

解析：令t=x²-1，且y=t²-|t|,y=-k，在同一坐标系中作出函数y=t²-|t|,y=-k的图像，如图所示.

    当k=0时，函数y=t²-|t|,y=-k的图像有3个交点，-1,0,1,相应地，应有x²-1=1,x²-1=-1，x²-1=0，则此时方程有5个根；

    当k＜0时，此时-k＞0，函数y=t²-|t|,y=-k的图像有2个交点，此时t²-|t|+k=0，Δ=1-4k＞0，从而|t|=，即x²=，或x²=＜0(舍去)，则此时方程有2个不同的根；

    当k=时，函数y=t²-|t|,y=-k的图像有2个交点，且|x²-1|=，则此时方程有4个根；

    当0＜k＜时，函数y=t²-|t|,y=-k的图像有4个交点，从而原方程有8个根.

    从而假命题的个数为0，故选A.

答案：A