Question

（本题满分16分）已知函数，数列满足：

（1）若对于，都有成立，求实数的值；

（2）若对于，都有成立，求实数的取值范围；

（3）请你构造一个无穷数列使其满足下列两个条件，并加以证明：

①，；

②当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1．

Answer 1

解：（1）由题意得∴，得或3，检验符合．…4分

（2）设，即，解得或

∴要使得成立，则或                     ………………6分

当时，，

而，即，不满足题意．………8分

②当时，，，，

此时，，∴，满足题意．

综上，．                                           ………………10分

（3）构造数列：，下面证明此数列满足要求．

此时，不妨设取，

那么

由可得

因为，所以

又所以数列是无穷数列，因此构造的数列符合题意．  ………16分

注：不唯一，也可以取等