Question

【题目】如图，已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为，线段的长为.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线与轨迹交于、两点，且点在线段的上方，线段的垂直平分线为.

①求的面积的最大值；

②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②见详解.

【解析】

（1）根据题意，得到动点的轨迹是椭圆，以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可得出轨迹方程；

（2）①根据椭圆的特征，得到为椭圆的上顶点时，的高最大，进而可求出结果；

②当时，根据椭圆的对称性，即可得出存在除、外的两点、关于直线对称；当与不垂直时，假设存在这样的两个不同的点、，设，， ，的中点为，，根据推出，同理得到，得到，结合条件推出矛盾，即可得出结论.

（1）因为，

所以动点的轨迹是以、为焦点，以为长轴的椭圆；

以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

因此，动点的轨迹的方程为；

（2）①由题意，，当为椭圆的上顶点时，的高最大，此时面积最大；

所以的面积的最大值为；

②当时，线段的垂直平分线为轴，根据椭圆的对称性可得：存在除、外的两点、关于直线对称，

当与不垂直时，假设存在这样的两个不同的点、，

设，， ，的中点为，，

由，在椭圆上，

则，两式作差得：，

所以，即；

同理，，

因为直线为线段，的垂直平分线，所以，

即三点共线，这与与不垂直矛盾，因此假设不成立，

所以与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称.