Question

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）＞0恒成立；
（3）判断并证明函数f（x）在R上的单调性．

Answer 1

解：（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…
∵x＜0时，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…
∴f（0）=1…
（2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1
∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得…
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1…
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＜f（x₂）…
∴函数f（x）在R上是单调递增函数…
分析：（1）令y=0，x=-1，由f（x+y）=f（x）f（y）得：f（-1）=f（-1）f（0），进而得到f（0）=1
（2）由已知中：当x＜0时，0＜f（x）＜1，可得x＞0时，-x＜0，令y=-x，可由（1）的结论，证得f（x）＞0恒成立；
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，结合当x＜0时，0＜f（x）＜1，可得f（x₁）＜f（x₂），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性与函数的单调性，函数恒成立问题，函数函数图象和性质的综合应用，难度中档．