Question

设函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．

(1)求函数g(x)的单调区间和最小值；

(2)讨论g(x)与g的大小关系；

(3)求实数a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．

Answer 1

解　(1)由题意，得g(x)＝ln x＋，x>0，

所以g′(x)＝，且x>0，

令g′(x)＝0，得x＝1，

当x∈(0,1)时，g′(x)<0，

故(0,1)是g(x)的单调减区间，

当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.

故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，

因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以最小值为g(1)＝1.

(2)由(1)知＝－ln x＋x，

(3)由(1)知，g(x)的最小值为g(1)＝1，

所以g(a)－g(x)<对∀x>0成立⇔g(a)－1<.

则ln a＋－1<，即ln a<1，

所以0<a<e.

故实数a的取值范围是(0，e)．