Question

【题目】一吊灯下沿圆环直径为米，通过拉链、、、（、、是圆上三等份点）悬挂在处，圆环呈水平状态并距天花板2米，如图所示.

（1）为使拉链总长最短，应多长？

（2）为美观与安全，在圆环上设置，，……，（）各等分点，仍按上面方法连接．若还要求拉链总长度最短，对比（1）时C点位置，此时C点将会上移还是会下移?请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的位置将下移.

【解析】

试题分析：（1）设离天花板米（），拉链总长度为米,利用所给图,得到,其导,利用导数求出取何值时,最小；（2）当在圆环上设置个点时,拉链的总长为,同样利用导数求出取何值时,最小.并与（1）中值比较,可知点的位置移动情况.

试题解析：

（1）设离天花板米（），拉链总长度为米，由题意、、、四点构成一个正三棱锥，、、为该三棱锥的三条棱侧，三棱锥的高

.于是有，对其求导，得.

当时，，解得时，，

时，，时，即米时，取最小值米.

（2）由（1）可知，当在圆环上设置个点时，拉链的总长为：，求导得，当时，.解之得，因为只有一个极值，所以时，拉链长最短.下面比较与的大小（其中），即，亦即得，所以点的位置将下移.