Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n，S_n）在函数f（x）=1-（$\frac{1}{2}$）^x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=|log₂a_n|，记T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点（n，S_n）在函数f（x）=1-（$\frac{1}{2}$）^x的图象上．可得S_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$，利用递推式 即可得出．
（2）b_n=n，可得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得T_n，代入（n-1）²≤m（T_n-n-1）化简整理，再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）在函数f（x）=1-（$\frac{1}{2}$）^x的图象上．
∴S_n=1-$（\frac{1}{2}）^{n}$，
当n=1时，a₁=S₁=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$1-（\frac{1}{2}）^{n}$-$[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=|log₂a_n|=n，
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ．
∴T_n=$\frac{{b}_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=2+2•2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n×2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
∴T_n-n-1=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2-n-1=（n-1）×（2ⁿ⁺¹-1）＞0（n≥2）．
由（n-1）²≤m（T_n-n-1）即（n-1）²≤m（n-1）（2ⁿ⁺¹-1）．
由于上式对于n≥2恒成立，
∴m≥$\frac{n-1}{{2}^{n+1}-1}$≥$\frac{2-1}{{2}^{2+1}-1}$=$\frac{1}{7}$．
∴实数m取值范围是$[\frac{1}{7}，+∞）$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、不等式的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．