Question

15．若$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$＞0，有四个不等式：①a³＜b³；②log_a+23＞log_b+13；③④$\sqrt{b}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b-a}$；④a³+b³＞2ab²，则下列组合中全部正确的为（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 根据不等式的性质分别对①②③④判断即可．

解答 解：若$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$＞0，则b＞a＞0，
①a³＜b³，正确；
②令b=2，a=1，则log_a+23=log_b+13；故②错误；
③由$\sqrt{b}$-$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b-a}$，
得：b+a-2$\sqrt{ab}$＜b-a，
故a＜$\sqrt{ab}$，故a＜b，成立，
故③正确；
④∵b＞a＞0，∴a²-2ab+b²＞0，∴a²-ab+b²＞ab（*）．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b），
∴a³+b³＞a²b+ab² 成立．
而2ab²＞a²b+ab²，故④不一定成立，故④错误；
故选：B．

点评 本题主要考查用分析法和综合法证明不等式，此题还可用比较法证明，体会不同方法间的区别联系，属于中档题．