Question

20．如图，正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为2，下底面中心为O，上、下底面边长分别为2和4．
（1）证明：直线OC₁∥平面ADD₁A₁；
（2）求二面角B-CC₁-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）法一：推导出四边形AOC₁A₁是平行四边形，从而AA₁∥OC₁，由此能证明直线OC₁∥平面ADD₁A₁．
法二：设上底面中心为O₁，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线OC₁∥平面ADD₁A₁．
（2）求出平面BCC₁的法向量和平面CC₁O的法向量，利用向量法能求出二面角B-CC₁-O的余弦值．

解答 证明：（1）证法一：∵正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为2，
下底面中心为O，上、下底面边长分别为2和4．
∴AO$\underset{∥}{=}$A₁C₁，∴四边形AOC₁A₁是平行四边形，
∴AA₁∥OC₁，
∵AA₁?平面ADD₁A₁，OC₁?平面ADD₁A₁，
∴直线OC₁∥平面ADD₁A₁．
证法二：设上底面中心为O₁，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
O（0，0，0），C₁（-$\sqrt{2}$，0，2），A（2$\sqrt{2}$，0，0），
D（-$\sqrt{2}$，0，2），A₁（$\sqrt{2}，0，2$），
$\overrightarrow{O{C}_{1}}$=（0，-$\sqrt{2}$，2），$\overrightarrow{AD}$=（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，0，2），
设平面ADD₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-2\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$，1），
$\overrightarrow{O{C}_{1}}$$•\overrightarrow{n}$=-2+2=0．
∵OC₁?平面ADD₁A₁，
∴直线OC₁∥平面ADD₁A₁．
解：（2）B（0，$\sqrt{2}$，0），C（-2$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{BC}$=（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$，2），
设平面BCC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-2\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
平面CC₁O的法向量$\overrightarrow{p}$=（1，0，0），
设二面角B-CC₁-O的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+4+\frac{1}{2}}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
∴二面角B-CC₁-O的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．