Question

6．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA₁=AB=2，E，F分别是CC₁，BC的中点．
（1）求证：平面AB₁F⊥平面AEF；
（2）求点C到平面AEF的距离．

Answer 1

分析 （1）连结AF，由已知条件推导出面ABC⊥面BB₁C₁C，从而AF⊥B₁F，由勾股定理得B₁F⊥EF．由此能证明平面AB₁F⊥平面AEF．
（2）利用等面积方法，即可求出点C到平面AEF的距离．

解答 （1）证明：连结AF，∵F是等腰直角三角形△ABC斜边BC的中点，
∴AF⊥BC．
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴面ABC⊥面BB₁C₁C，
∴AF⊥面BB₁C₁C，AF⊥B₁F．…（2分）
设AB=AA₁=1，则B₁F=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁E=$\frac{3}{2}$．
∴B₁F²+EF²=B₁E²，∴B₁F⊥EF．
又AF∩EF=F，∴B₁F⊥平面AEF．…（4分）
而B₁F?面AB₁F，故：平面AB₁F⊥平面AEF．…（5分）
（2）解：设点C到平面AEF的距离为h，则由题意，AF⊥CF，AF⊥EF，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，S_△AEF=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由等体积可得，$\frac{1}{3}×1×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C到平面AEF的距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．