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    18．股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国．2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心．最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：
    （1）投资股市：
    投资结果获利不赔不赚亏损
    概率$\frac{1}{2}$$\frac{1}{8}$$\frac{3}{8}$
    （2）购买基金：
    投资结果获利不赔不赚亏损
    概率p$\frac{1}{3}$q
    （Ⅰ）当$p=\frac{1}{2}$时，求q的值；
    （Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围；
    （Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．

    分析 （Ⅰ）由已知得$p+\frac{1}{3}+q=1$，$p=\frac{1}{2}$，由此能求出$q=\frac{1}{6}$．
    （Ⅱ）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得$q＜\frac{3}{8}$，由$p+\frac{1}{3}+q=1$，$p+\frac{1}{3}+q=1$，q≥0，能求出p的取值范围．
    （Ⅲ）记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，由此利用列举法能求出这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率．

    解答 解：（Ⅰ）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，
    所以$p+\frac{1}{3}+q=1$，又因为$p=\frac{1}{2}$，所以$q=\frac{1}{6}$．
    （Ⅱ）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得$q＜\frac{3}{8}$，
    因为$p+\frac{1}{3}+q=1$，
    所以$q=\frac{2}{3}-p＜\frac{3}{8}$，解得$p＞\frac{7}{24}$，
    又因为$p+\frac{1}{3}+q=1$，q≥0，
    所以$p≤\frac{2}{3}$，
    所以$\frac{7}{24}＜p≤\frac{2}{3}$．
    （Ⅲ）记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，
    用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，
    则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有3×3=9种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（b，y），（b，z），（c，y），（c，z），
    所以事件A的结果有5种，它们是：（a，x），（a，y），（a，z），（b，x），（c，x）．
    因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率$P（A）=\frac{5}{9}$．

    点评 本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式、列举法的合理运用．

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