Question

13．已知函数$f（x）={（\frac{1}{3}）^x}-{log_2}$x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）•f（b）•f（c）＜0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＜b；③d＞c；④d＜c中一定成立的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件和等差数列的性质判断出a、b、c的大小关系，由题意画出$y={（\frac{1}{3}）}^{x}和y=lo{g}_{2}^{x}$的图象，通过方程的根与图象交点问题，由图象可得答案．

解答 解：∵正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，
∴0＜a＜b＜c，
在坐标系中画出$y={（\frac{1}{3}）}^{x}和y=lo{g}_{2}^{x}$的图象：
∵f（a）•f（b）•f（c）＜0，
且实数d是方程f（x）=0的一个解，
∴由图可得，a＜d＜c一定成立，
则①d＜a不正确；②d＜b不一定；
③d＞c不正确；④d＜c正确，
∴一定成立的个数是1个，
故选A．

点评 本题考查等差数列的性质，指数函数、对数函数的图象，以及过方程的根与图象交点问题的转化，考查转化思想、数形结合思想．