Question

4．在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：kx-y+2=0与直线l₂：x+ky-2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x-y-4=0的距离的最大值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直线l₁：kx-y+2=0与直线l₂：x+ky-2=0的斜率乘积=k×$（-\frac{1}{k}）$=-1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．可得点M到直线x-y-4=0的距离d为最大值．

解答 解：∵直线l₁：kx-y+2=0与直线l₂：x+ky-2=0的斜率乘积=k×$（-\frac{1}{k}）$=-1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M（0，2），N（2，0）．
∴两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且k_MN=-1，可得MN与直线x-y-4=0垂直．
∴点M到直线x-y-4=0的距离d=$\frac{|0-2-4|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$为最大值．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．