Question

12．已知圆M与y轴相切，圆心在直线y=$\frac{1}{2}$x上，并且在x轴上截得的弦长为2$\sqrt{3}$．则圆M的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=4或（x+2）²+（y+1）²=4．

Answer 1

分析 设出圆的方程，利用圆心在直线y=$\frac{1}{2}$x上，且与y轴相切，在x轴上截得的弦长为2$\sqrt{3}$，列出方程组，求出圆的相关系数，得到圆的方程．

解答 解：设圆M的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}a-b=0}\\{|a|=r}\\{{b}^{2}+3={r}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{r=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-1}\\{r=2}\end{array}\right.$，
∴圆M的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=4或（x+2）²+（y+1）²=4．
故答案为：（x-2）²+（y-1）²=4或（x+2）²+（y+1）²=4．

点评 本题考查圆的方程的求法，待定系数法的应用，注意圆与y轴相切条件的应用，考查计算能力，是基础题．